प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन
प्रश्न 1: \(cos^-1\)(-1/2) का मुख्य मान निर्धारित करें ।
समाधान:
मान लीजिए कि, y = \(cos^{-1}\)(-1/2)
हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:
cos y =- 1/2
cos y = cos (2π/3).
इस प्रकार,\(cos^{-1}\) के मुख्य मान का परिसर [0, π ] है।
इसलिए, \(cos^{-1}\) ( -1/2) का मुख्य मान 2π /3 है।
प्रश्न 2: cot ( \(tan^{-1} α + cot^{-1}a\) )का मान ज्ञात कीजिए ।
समाधान:
दिया गया है: cot ( \(tan^{-1} α + cot^{-1}a\) )
= cot (𝝅/𝟐) (since, \(tan^{-1} x + cot^{-1}\) x = 𝜋/2)
= cot (180°/2) ( हम जानते हैं कि cot 90° = 0 )
= cot (90°)
= 0
इसलिए, cot ( \(tan^{-1} α + cot^{-1}a\) ) का मान 0 है।
प्रश्न 3: \(tan^{-1} √3 – sec^{-1}\)(–2) का मान बराबर है:
(A) π (B) – π/3 (C) π/3 (D) 2π/3
समाधान:
अब, व्यंजक का पहला भाग हल करें: \(tan^{-1} √3\)
आइए y = \(tan^{-1} √3\)लें
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
tan y = √3
अब, रेडियन मान ज्ञात करने के लिए त्रिकोणमिति तालिका का उपयोग करें
tan y = tan (π/3)
इस प्रकार, \(tan^{-1}\) के मुख्य मान की सीमा (−π/2, π/2) है
इसलिए, \(tan^{-1} √3\) का मुख्य मान π/3 है।
अब, व्यंजक का दूसरा भाग हल करें: \(sec^{-1}\) (–2)
अब मान लीजिए कि y = \(sec^{-1}\) (–2)
sec y = -2
sec y = sec (2π/3)
हम जानते हैं कि \(sec^{-1}\) का मुख्य मान परिसर [0,π] – {π/2} है
इसलिए, \(sec^{-1}\) (–2) का मुख्य मान = 2π/3
अब हमारे पास है:
\(tan^{-1}\) (√3) = π/3
\(sec^{-1}\) (–2) = 2π/3
अब, दिए गए व्यंजक में मान प्रतिस्थापित करें:
= \(tan^{-1} √3 – sec^{-1}\)(−2)
= π/3 − (2π/3)
= π/3 − 2π/3
= (π − 2π)/3
= – π/3
अतः सही उत्तर विकल्प (बी) है
प्रश्न 4: सिद्ध कीजिए कि \(sin^{-1} (3/5) – sin^{-1} (8/17) = cos ^{-1} (84/85)\)
समाधान:
माना \(sin^{-1} (3/5) = a और sin^{-1} (8/17) = b\)
इस प्रकार, हम लिख सकते हैं sin a = 3/5 और sin b = 8/17
अब, cos a और cos b का मान ज्ञात कीजिए
cos a ज्ञात करने के लिए:
Cos a = √[1 – \(sin^{2}\)a]
= √[1 – \((3/5)^{2}\) ]
= √[1 – (9/25)]
= √[(25-9)/25]
= 4/5
इस प्रकार, cos a का मान = 4/5
cos b ज्ञात करने के लिए:
Cos b = √[1 – \(sin^{2}\)b]
= √[1 – \((8/17)^{2}\) ]
= √[1 – (64/289)]
= √[(289-64)/289]
= 15/17
इस प्रकार, cos b का मान = 15/17
हम जानते हैं कि cos (a- b) = cos a cos b + sin a sin b
अब, सूत्र में cos a, cos b, sin a और sin b के मान प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है:
cos (a – b) = (4/5)x (15/17) + (3/5)x(8/17)
cos (a – b) = (60 + 24)/(17x 5)
cos (a – b) = 84/85
(a – b) = cos-1 (84/85)
a और b के मान प्रतिस्थापित करने पर \(sin^{-1} (3/5)- sin^{-1} (8/7) = cos^{-1} (84/85)\)
प्रश्न 5: \(cos^{-1} (1/2) + 2 sin^{-1} (1/2)\) का मान ज्ञात कीजिए ।
समाधान:
सबसे पहले, \(cos^{-1} (1/2)\) का हल निकालें:
आइए, y = \(cos^{-1} (1/2)\) लें
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
cos y = (1/2)
cos y = cos (π /3).
इस प्रकार, \(cos^{-1}\) के मुख्य मान की सीमा [0, π] है
इसलिए, \(cos^{-1} (1/2)\) का मुख्य मान π/3 है।
अब \(sin^{-1} (1/2)\) का हल निकालें:
मान लीजिए y = \(sin^{-1} (1/2)\)
sin y = 1/2
sin y = sin ( π/6)
इस प्रकार, \(sin^{-1}\)के मुख्य मान की सीमा [(-π)/2, π/2 ] है
अतः \(sin^{-1} (1/2)\) का मुख्य मान π/6 है।
अब हमारे पास है \(cos^{-1} (1/2) = π/3\)और \(sin^{-1} (1/2) = π/6\)
अब प्राप्त मानों को दिए गए सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है:
= \(cos^{-1} (1/2) + 2 sin^{-1}(1/2)\)
= π /3 + 2( π/6)
= π/3 + π/3
= ( π+π )/3
= 2π /3
इस प्रकार, \(cos^{-1} (1/2) + 2 sin^{-1}(1/2)\) का मान 2π /3 है।
Leave a Reply