प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन
प्रश्न 1: cos^-1(-1/2) का मुख्य मान निर्धारित करें ।
समाधान:
मान लीजिए कि, y = cos^{-1}(-1/2)
हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:
cos y =- 1/2
cos y = cos (2π/3).
इस प्रकार,cos^{-1} के मुख्य मान का परिसर [0, π ] है।
इसलिए, cos^{-1} ( -1/2) का मुख्य मान 2π /3 है।
प्रश्न 2: cot ( tan^{-1} α + cot^{-1}a )का मान ज्ञात कीजिए ।
समाधान:
दिया गया है: cot ( tan^{-1} α + cot^{-1}a )
= cot (𝝅/𝟐) (since, tan^{-1} x + cot^{-1} x = 𝜋/2)
= cot (180°/2) ( हम जानते हैं कि cot 90° = 0 )
= cot (90°)
= 0
इसलिए, cot ( tan^{-1} α + cot^{-1}a ) का मान 0 है।
प्रश्न 3: tan^{-1} √3 – sec^{-1}(–2) का मान बराबर है:
(A) π (B) – π/3 (C) π/3 (D) 2π/3
समाधान:
अब, व्यंजक का पहला भाग हल करें: tan^{-1} √3
आइए y = tan^{-1} √3लें
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
tan y = √3
अब, रेडियन मान ज्ञात करने के लिए त्रिकोणमिति तालिका का उपयोग करें
tan y = tan (π/3)
इस प्रकार, tan^{-1} के मुख्य मान की सीमा (−π/2, π/2) है
इसलिए, tan^{-1} √3 का मुख्य मान π/3 है।
अब, व्यंजक का दूसरा भाग हल करें: sec^{-1} (–2)
अब मान लीजिए कि y = sec^{-1} (–2)
sec y = -2
sec y = sec (2π/3)
हम जानते हैं कि sec^{-1} का मुख्य मान परिसर [0,π] – {π/2} है
इसलिए, sec^{-1} (–2) का मुख्य मान = 2π/3
अब हमारे पास है:
tan^{-1} (√3) = π/3
sec^{-1} (–2) = 2π/3
अब, दिए गए व्यंजक में मान प्रतिस्थापित करें:
= tan^{-1} √3 – sec^{-1}(−2)
= π/3 − (2π/3)
= π/3 − 2π/3
= (π − 2π)/3
= – π/3
अतः सही उत्तर विकल्प (बी) है
प्रश्न 4: सिद्ध कीजिए कि sin^{-1} (3/5) – sin^{-1} (8/17) = cos ^{-1} (84/85)
समाधान:
माना sin^{-1} (3/5) = a और sin^{-1} (8/17) = b
इस प्रकार, हम लिख सकते हैं sin a = 3/5 और sin b = 8/17
अब, cos a और cos b का मान ज्ञात कीजिए
cos a ज्ञात करने के लिए:
Cos a = √[1 – sin^{2}a]
= √[1 – (3/5)^{2} ]
= √[1 – (9/25)]
= √[(25-9)/25]
= 4/5
इस प्रकार, cos a का मान = 4/5
cos b ज्ञात करने के लिए:
Cos b = √[1 – sin^{2}b]
= √[1 – (8/17)^{2} ]
= √[1 – (64/289)]
= √[(289-64)/289]
= 15/17
इस प्रकार, cos b का मान = 15/17
हम जानते हैं कि cos (a- b) = cos a cos b + sin a sin b
अब, सूत्र में cos a, cos b, sin a और sin b के मान प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है:
cos (a – b) = (4/5)x (15/17) + (3/5)x(8/17)
cos (a – b) = (60 + 24)/(17x 5)
cos (a – b) = 84/85
(a – b) = cos-1 (84/85)
a और b के मान प्रतिस्थापित करने पर sin^{-1} (3/5)- sin^{-1} (8/7) = cos^{-1} (84/85)
प्रश्न 5: cos^{-1} (1/2) + 2 sin^{-1} (1/2) का मान ज्ञात कीजिए ।
समाधान:
सबसे पहले, cos^{-1} (1/2) का हल निकालें:
आइए, y = cos^{-1} (1/2) लें
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
cos y = (1/2)
cos y = cos (π /3).
इस प्रकार, cos^{-1} के मुख्य मान की सीमा [0, π] है
इसलिए, cos^{-1} (1/2) का मुख्य मान π/3 है।
अब sin^{-1} (1/2) का हल निकालें:
मान लीजिए y = sin^{-1} (1/2)
sin y = 1/2
sin y = sin ( π/6)
इस प्रकार, sin^{-1}के मुख्य मान की सीमा [(-π)/2, π/2 ] है
अतः sin^{-1} (1/2) का मुख्य मान π/6 है।
अब हमारे पास है cos^{-1} (1/2) = π/3और sin^{-1} (1/2) = π/6
अब प्राप्त मानों को दिए गए सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है:
= cos^{-1} (1/2) + 2 sin^{-1}(1/2)
= π /3 + 2( π/6)
= π/3 + π/3
= ( π+π )/3
= 2π /3
इस प्रकार, cos^{-1} (1/2) + 2 sin^{-1}(1/2) का मान 2π /3 है।
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