नोट्स भौतिक विज्ञान Notes Chapter 6 Bhautik Vigyan Class 11 Physics Hindi Medium

जड़त्व आघूर्ण संबंधी प्रमेय : समांतर अक्षों की प्रमेय तथा लम्ब अक्षों की प्रमेय

जड़त्व आघूर्ण संबंधी प्रमेय

जड़त्व आघूर्ण संबंधी प्रमेय दो प्रकार की होती हैं-
(1) समांतर अक्षों की प्रमेय
(2) लम्ब अक्षों की प्रमेय

1. समांतर अक्षों की प्रमेय

किसी पिंड का किसी घूर्णन अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण (I), उस पिंड के द्रव्यमान केंद्र (C) में से गुजरने वाली समांतर अक्ष के परितः पिंड के जड़त्व आघूर्ण (Icm) तथा उसके द्रव्यमान और दोनों समांतर अक्षों के बीच की लम्बवत दूरी के वर्ग के गुणनफल के योग के बराबर होता है। अर्थात

I = Icm + Ma₂

जहां M पिंड का संपूर्ण द्रव्यमान तथा a दोनों पक्षों के बीच की दूरी है। इसे समांतर अक्षों की प्रमेय (theorem of parallel axes) कहते हैं।

उत्पत्ति

माना एक पिंड जिसका द्रव्यमान केंद्र C है इससे गुजरने वाली अक्ष EF के परितः जड़त्व आघूर्ण I_cm है। अक्ष EF, अक्ष AB के समांतर है तथा इनके बीच की दूरी a है। माना अक्ष EF से r दूरी पर m द्रव्यमान का एक कण है तो इस कण की अक्ष AB से दूरी (a + r) होगी। तो

कण का EF अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण = mr²

अतः संपूर्ण पिंड का EF अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण

I_cm = Σmr²

एवं संपूर्ण पिंड का AB अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण

I = Σm(r + a)²

I = Σm(r² + a² + 2ra)

I = Σmr² + Σma² + Σm(2ra)

चूंकि a नियत है इसलिए इसे Σ से बाहर ले सकते हैं

I = Σmr² + a²Σm + 2aΣmr

अब I_cm = Σmr² है तो

I = I_cm + a²Σm + 2aΣmr

चूंकि द्रव्यमान केंद्र के परितः Σmr = 0 एवं Σm = M है तब

\({ I = I_cm + Ma^2 } \)

यही जड़त्व आघूर्ण संबंधी समांतर अक्ष की प्रमेय हैं।

2. लम्ब अक्षों की प्रमेय

किसी समतल पटल का उसके तल में ली गई परस्पर दो अक्षों OX तथा OY के परितः जड़त्व आघूर्ण का योग, इन अक्षों के कटान बिंदु O से जाने वाली तथा समतल पटल के लंबवत अक्ष OZ के परितः जड़त्व आघूर्ण के बराबर होता है अर्थात

IX + IY + IZ

जहां IX तथा IY पटल की अक्ष OX व OY के परितः जड़त्व आघूर्ण है इसे लम्ब अक्षों की प्रमेय (theorem of perpendicular axes) कहते हैं।

उत्पत्ति

माना समतल पटल के तल में दो परस्पर लंबवत अक्ष OX व OY हैं। चित्र में P बिंदु पर पिंड का एक कण है जिसका द्रव्यमान m है एवं इसकी कटान बिंदु से दूरी r है तो
पूरे पटल का OX अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण IX = Σmy₂

इसी प्रकार पटल का OY अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण I_Y = Σmx²

अतः OZ अक्ष के परितः पूरे पटल का जड़त्व आघूर्ण

I_Z = Σmr²

I_Z = Σm(x² + y²) (चूंकि r² = x² + y²)

I_Z = Σmx² + Σmy²

अतः Σmx² तथा Σmy² के मान रखने पर

I_Z = I_Y + I_X

\({ IZ = IX + IY } \)

यही जड़त्व आघूर्ण संबंधी लम्ब अक्षों की प्रमेय हैं।