प्रश्न 1: एक रेखा की ढलान की गणना करें, जो मूल बिंदु और बिंदुओं P (0, -4) और B (8, 0) को मिलाने वाले रेखाखंड के मध्य बिंदु से होकर गुजरती है।
समाधान:
मान लें कि,
बिंदु P (0, -4) और B (8, 0) को मिलाने वाले रेखाखंड के मध्य-बिंदु के निर्देशांक हैं:
[(0+8)/2 , (-4+0)/2] = (4, -2)
यह ज्ञात है कि बिंदुओं \((x_1,y_1)और (x_2,)\)से गुजरने वाली एक गैर-ऊर्ध्वाधर रेखा का ढलान (m)\(y_2)\)सूत्र द्वारा दिया गया है
m =\((y_2,y_1)/ (x_2 – x_1)\), जहाँ \((x_2,x1\)के बराबर नहीं है)
इसलिए, बिंदुओं (0, 0,) और (4, -2) से गुजरने वाली रेखा का ढलान है
m= (-2-0)/(4-0)
m= -2/4
m= -½
अतः रेखा का अपेक्षित ढलान -1/2 है
प्रश्न 2: उस रेखा का समीकरण ज्ञात करें जो उत्पत्ति से 5 इकाई की लंबवत दूरी पर है और लंबवत रेखा द्वारा सकारात्मक x-अक्ष के साथ 30° का कोण बनाता है।
समाधान:
यदि p मूल बिंदु से रेखा तक अभिलंब की लंबाई है और ω अक्ष द्वारा बनाया गया कोण है
x-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ अभिलंब
फिर, दी गई स्थिति के लिए रेखा का समीकरण इस प्रकार लिखा जाता है
x cos ω + y sin ω = p.
यहाँ, p = 5 इकाई तथा ω = 30°
इस प्रकार, दी गई रेखा का अभीष्ट समीकरण है
x cos 30°+ y sin 30° = 5
x(√3/2) + y(½) = 5
यह बन जाता है
√ 3x +y = 10
इस प्रकार, रेखा का अभीष्ट समीकरण √ 3x + y = 10 है
प्रश्न 3:रेखा x – 7y + 5 = 0 पर लंबवत और x-अन्तःखण्ड 3 वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
समाधान:
रेखा का समीकरण x – 7y + 5 = 0 दिया गया है।
उपरोक्त समीकरण को y = mx+c के रूप में लिखा जा सकता है
इस प्रकार, उपरोक्त समीकरण इस प्रकार लिखा जाएगा:
y= (1/7)x + (5/7)
उपरोक्त समीकरण से हम कह सकते हैं कि,
रेखा का ढलान, m = 5/7
1/7 ढलान वाली रेखा के लंबवत रेखा का ढलान है
m = -1/(1/7) = -7
अतः, ढलान -7 और अंतःखंड 3 वाली रेखा का समीकरण इस प्रकार दिया गया है:
y = m (x – d)
⇒ y= -7(x-3)
⇒ y=-7x + 21
7x+ y = 21
अतः, उस रेखा का समीकरण जो x-अन्तःखण्ड 3 के साथ रेखा x – 7y + 5 = 0 पर लंबवत है, 7x+ y = 21 है।
प्रश्न 4: मूल बिंदु से रेखा y = mx + c पर डाला गया लंब बिंदु (-1, 2) पर मिलता है। m और c के मान ज्ञात कीजिए।
समाधान:
रेखा का दिया गया समीकरण y = mx + c है।
दी गई स्थिति से, मूल बिंदु से डाला गया लंब दी गई रेखा से (-1, 2) पर मिलता है।
अतः बिन्दुओं (0, 0) और (-1, 2) को मिलाने वाली रेखा दी गई रेखा पर लंबवत है।
(0, 0) और (-1, 2) को मिलाने वाली रेखा का ढलान है
= 2/-1 = -2
इसलिए,
m (– 2) = -1 (चूँकि दोनों रेखाएँ लंबवत हैं)
m= ½
चूँकि बिंदु (-1, 2) दी गई रेखा पर स्थित हैं, यह समीकरण y = mx + c को संतुष्ट करता है।
अब समीकरण में m, (x, y) निर्देशांकों का मान प्रतिस्थापित करें:
2 = m(-1) + c
2 = ½(-1) + c
2 = -½ + c
C = 2 + (½)
C = 5/2
अतः m और c के मान क्रमशः ½ और 5/2 हैं।
Leave a Reply