क्रमचय और संचय
प्रश्न 1: दिए गए अंकों 1, 2, 3, 4 और 5 से बनने वाली 3-अंकीय संख्याएँ ज्ञात कीजिए, यह मानते हुए कि
क) अंक दोहराए जा सकते हैं।
ख) अंकों को दोहराने की अनुमति नहीं है।
समाधान:
a) गुणन सिद्धांत के अनुसार, दिए गए अंकों से तीन अंकों की संख्याएँ बनाने के तरीकों की संख्या 5 × 5 × 5 = 125 है
b) गुणन सिद्धांत के अनुसार, दिए गए अंकों को दोहराए बिना तीन अंकों की संख्याएँ बनाने के तरीकों की संख्या 5 × 4 × 3 = 60 है
प्रश्न 2: एक सिक्के को 6 बार उछाला जाता है, और परिणाम नोट कर लिए जाते हैं। कितने संभावित परिणाम हो सकते हैं?
समाधान:
जब हम एक बार सिक्का उछालते हैं, तो हमें प्राप्त परिणामों की संख्या 2 होती है (या तो चित या पट)
इसलिए, प्रत्येक उछाल में, एक अलग चेहरा पाने के तरीकों की संख्या 2 होगी।
इसलिए, गुणन सिद्धांत से, संभावित परिणामों की आवश्यक संख्या है
2 x 2 x 2 x 2 × 2 × 2 = 64
प्रश्न 3: निम्नलिखित का मूल्यांकन करें:
(i) 6!
(ii) 5! – 2!
समाधान:
(i) 6! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 = 720
(ii) 5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120
चूंकि 2! = 1 × 2 = 2
इसलिए, 5! – 2! = 120 – 2 = 118
प्रश्न 4: 6 विद्यार्थियों की एक टीम में से, यह मानते हुए कि एक व्यक्ति एक से अधिक पद पर नहीं रह सकता, हम कितने तरीकों से एक कप्तान और उप-कप्तान का चयन कर सकते हैं?
समाधान:
6 छात्रों की एक टीम से, दो छात्रों को इस प्रकार चुना जाना है कि एक छात्र केवल एक पद धारण करेगा।
यहाँ, एक कप्तान और उप-कप्तान चुनने के तरीकों की संख्या 6 विभिन्न वस्तुओं में से 2 के समय पर क्रमचय के रूप में होगी।
तो, P = 6! / (6 – 2)! = 6! / 4! = 30
प्रश्न 5: शब्द EQUATION के सभी अक्षरों का उपयोग करके कितने शब्द, अर्थ सहित या बिना अर्थ के, बनाए जा सकते हैं, प्रत्येक अक्षर का एक बार ही उपयोग करते हुए?
समाधान:
शब्द EQUATION में अक्षरों की संख्या = 8
n = 8
यदि शब्द के सभी अक्षरों का एक बार में उपयोग किया जाए
r = 8
विभिन्न संख्या में बने शब्द = nPr
= P = 8!/(8 – 8)! = 8!/0! = 8!/1 = 8!
= 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1
= 40320
प्रश्न 6: दिए गए शब्द – DAUGHTER के अक्षरों से 2 स्वरों और 3 व्यंजनों वाले कितने शब्द बनाए जा सकते हैं?
समाधान:
शब्द DAUGHTER में स्वर की संख्या = 3
शब्द DAUGHTER में व्यंजनों की संख्या = 5
स्वर चुनने के तरीके की संख्या = c = 3!/2!(3 – 2)! = 3
व्यंजन चुनने के तरीके की संख्या = c = 5!/3!(5 – 3)! = 10
अब आप जानते हैं कि 3 व्यंजनों और 2 स्वरों के संयोजन की संख्या = 10 × 3 = 30
कुल शब्दों की संख्या = 30 × 5! = 3600 तरीकों से।
प्रश्न 7: 5 लड़कों और 4 लड़कियों को एक पंक्ति में इस प्रकार बैठाना आवश्यक है कि लड़की को सम स्थान मिले। ऐसे कितने व्यवस्थाएँ संभव हैं?
समाधान:
5 लड़कों और 4 लड़कियों को एक पंक्ति में इस प्रकार बैठाना है कि लड़की को सम स्थान मिले।
5 लड़कों को 5! तरीकों से बैठाया जा सकता है।
प्रत्येक व्यवस्था के लिए, 4 लड़कियों को केवल उन स्थानों पर बैठाया जा सकता है जो लड़कियों के सम स्थान को चिह्नित करने के लिए क्रॉस-चिह्नित हैं।
B x B x B x B x B
इस प्रकार, लड़कियों को 4! तरीकों से बैठाया जा सकता है।
इस प्रकार, संभावित व्यवस्थाओं की संख्या = 4! × 5! = 24 × 120 = 2880
प्रश्न 9: अंक 0, 1, 3, 5, 7 और 9 का उपयोग करके बनाई जा सकने वाली 6 अंकों की संख्या ज्ञात कीजिए। ये अंक 10 से विभाज्य होंगे, और कोई अंक दोहराया नहीं जाएगा?
समाधान:
वह संख्या जिसके इकाई स्थान पर 0 हो, 10 से विभाज्य होती है।
यदि हम इकाई स्थान, _ _ _ _ 0, पर 0 रखें, तो 5 रिक्त स्थानों को भरने के उतने ही तरीके होंगे। (1, 3, 5, 7, 9)
पांच रिक्त स्थानों को 5! तरीकों से भरा जा सकता है = 120.
प्रश्न 10: मूल्यांकन करें: 10! – 6!
समाधान:
10! = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x1 = 3628800
6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720
10! – 6! = 3628800 – 720 = 3628080
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