रैखिक असमिकाएँ
प्रश्न 1: 3x+8>2 का हल निकालें, जब
(i) x एक पूर्णांक है
(ii) x एक वास्तविक संख्या है
समाधान:
दी गई रैखिक असमानता: 3x+8>2
दी गई असमानता को इस प्रकार भी लिखा जा सकता है:
3x+8 -8 > 2 -8 …(1)
उपरोक्त असमानता में, -8 को दोनों पक्षों पर गुणा किया जाता है, क्योंकि यह दी गई अभिव्यक्ति की परिभाषा को नहीं बदलता है।
अब, व्यंजक (1) को सरल कीजिए
⇒ 3x > -6
अब दोनों पक्षों को 3 से विभाजित करें
⇒ 3x/3 > -6/3
⇒ x > -2
(i) x एक पूर्णांक है
इसलिए, -2 से बड़े पूर्णांक -1,0,1,2,…आदि हैं
इस प्रकार, जब x एक पूर्णांक है, तो दी गई असमानता के समाधान -1,0,1,2,… हैं
अतः दी गई रैखिक असमानता के लिए हल समुच्चय {-1,0,1,2,…} है।
(ii) x एक वास्तविक संख्या है
यदि x एक वास्तविक संख्या है, तो दी गई असमानता के समाधान सभी वास्तविक संख्याएँ हैं, जो
2 से अधिक हैं।
इसलिए, यदि x एक वास्तविक संख्या है, तो हल सेट (-2, ∞) है
प्रश्न 2: किसी उत्पाद की लागत और राजस्व फलन क्रमशः C(x) = 20 x + 4000 और R(x) = 60x + 2000 द्वारा दिए गए हैं, जहाँ x उत्पादित और बेची गई वस्तुओं की संख्या है। कुछ लाभ प्राप्त करने के लिए कितनी वस्तुओं को बेचा जाना चाहिए?
समाधान:
लागत, C(x) = 20 x + 4000
राजस्व, R(x) = 60x + 2000
हम जानते हैं कि, लाभ = राजस्व – लागत
अब, दिए गए डेटा को उपरोक्त सूत्र में प्रतिस्थापित करें,
लाभ = R(x) – C(x)
लाभ = (60x + 2000)-(20 x + 4000)
अब इसे सरल करें:
लाभ = 60x + 2000 -20x -4000
लाभ = 40x – 2000
कुछ लाभ कमाने के लिए, 40x – 2000 > 0
⇒40x > 2000
⇒ x>2000/40
⇒ x > 50
इस प्रकार, निर्माता को कुछ लाभ प्राप्त करने के लिए 50 से अधिक वस्तुएं बेचनी होंगी।
प्रश्न 3: दी गई रैखिक असमिकाओं 3x-2 < 2x+1 को हल कीजिए तथा संख्या रेखा पर हल का ग्राफ दर्शाइए।
समाधान:
दी गई रैखिक असमानता: 3x-2 < 2x+1
x पदों को एक ओर तथा अचर पदों को दूसरी ओर लाएँ
⇒3x-2x < 1+2
⇒ x < 3
इसलिए, संख्या रेखा में रैखिक असमानता के समाधान के लिए ग्राफ़िकल प्रतिनिधित्व निम्नानुसार है:
प्रश्न 4: रवि ने पहले दो यूनिट टेस्ट में 70 और 75 अंक प्राप्त किए। तीसरे टेस्ट में औसत कम से कम 60 अंक प्राप्त करने के लिए उसे न्यूनतम कितने अंक प्राप्त करने चाहिए?
समाधान:
मान लीजिए कि तीसरे यूनिट टेस्ट में रवि द्वारा प्राप्त अंक x हैं।
यह दिया गया है कि छात्र का औसत कम से कम 60 अंक होना चाहिए।
दी गई जानकारी से हम रैखिक असमानता को इस प्रकार लिख सकते हैं:
(70+75+x)/3 ≥ 60
अब, अभिव्यक्ति को सरल करें:
⇒ (145 +x) ≥ 180
⇒ x ≥ 180 -145
⇒ x ≥ 35
इसलिए, कम से कम 60 अंकों का औसत प्राप्त करने के लिए छात्र को न्यूनतम 35 अंक प्राप्त करने होंगे।
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