सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण
प्रश्न 1: दी गई सम्मिश्र संख्या (1 – i) – ( –1 + i6) को a + ib के रूप में लिखें
समाधान:
दी गई सम्मिश्र संख्या: (1 – i) – ( –1 + i6)
दूसरे ब्रैकेट के अंदर के पद से (-) को गुणा करें ( –1 + i6)
= 1 – i +1 – i6
= 2 – 7i, जो कि a + ib के रूप का है।
प्रश्न 2: दी गई सम्मिश्र संख्या (-3) को ध्रुवीय रूप में व्यक्त करें।
समाधान:
दी गई सम्मिश्र संख्या -3 है।
माना r cos θ = -3 …(1)
और r sin θ = 0 …(2)
(1) और (2) को वर्गाकार करें और जोड़ें, हमें मिलता है:
r cos θ + r sin θ = (-3)
L.H.S से r बाहर निकालें, हमें मिलता है:
r (cos θ + sin θ) = 9
हम जानते हैं कि cos θ + sin θ = 1, फिर उपरोक्त समीकरण बन जाता है:
r = 9
r = 3 (परंपरागत रूप से, r > 0)
अब, (1) और (2) में r का मान स्थापित करें।
cos θ = -1 और sin θ = 0
अतः θ = π
इसलिए, ध्रुवीय रूप 3 cos π + 3i sin π = 3(cos π+i sin π) है।
प्रश्न 3: दिए गए द्विघात समीकरण \(2x^2\)+ x + 1 = 0 को हल करें।
समाधान:
दिया गया द्विघात समीकरण: \(2x^2\)+ x + 1 = 0
अब, दिए गए द्विघात समीकरण की तुलना सामान्य रूप \(ax^2\) + bx + c = 0 से करें
तुलना करने पर, हमें मिलता है
a = 2, b = 1 और c = 1
इसलिए, समीकरण का विवेकानुपात है:
D = \(b^2\) – 4ac
अब, उपरोक्त सूत्र में मान स्थापित करें:
D = \((1)^2\)– 4(2)(1)
D = 1- 8
D = -7
इसलिए, दी गई द्विघात समीकरण का हल है:
x =[-b ± √D]/2a
x = [-1 ± √-7]/2(2)
हम जानते हैं कि √-1 = i
x = [-1 ± √7i] / 4
इसलिए, दी गई द्विघात समीकरण का हल (-1 ± √7i) / 4 है।
प्रश्न 4:किन्हीं दो सम्मिश्र संख्याओं \(Z_1\) और \(Z_2\) के लिए , दर्शाइए कि Re(\(Z_1 Z_2\)) = \(Rez_1 Rez_2 – Imz_1 Imz_2 \)
समाधान:
प्रश्न 5:[(1+i)/(1-i)] – [(1-i)/(1+i)] का मापांक ज्ञात कीजिए
समाधान:
Leave a Reply