प्रश्न 1: यदि P(A)= \(\frac{3}{5}\)है। P(नहीं A) का मान ज्ञात करें।
समाधान:
दिया गया है: P(A)= \(\frac{3}{5}\)
P(नहीं A) = 1 – P(A)
P(नहीं A) = 1 − \(\frac{3}{5}\)
= \(\frac{5−3}{5}\)
= \(\frac{2}{5}\)
अतः P(नहीं A) = \(\frac{2}{5}\) है।
प्रश्न 2: जब 52 ताश के पत्तों के एक अच्छी तरह से फेंटे गए डेक से 7 ताश की एक पत्तों का समूह निकाला जाता है, तो यह ज्ञात करें कि:
(i) सभी पत्ते राजा हों
(ii) 3 पत्ते राजा हों
समाधान:
(i) सभी पत्तों के राजा होने की प्रायिकता ज्ञात करने के लिए:
यदि 52 ताश के पत्तों के समूह से 7 पत्ते चुने जाते हैं, तो सभी संभव संयोजनों की कुल संख्या होती है:
C = \(\frac{52!}{7!×(52−7)!}\) = \(\frac{52!}{7!× 45!}\)
मान लें कि A एक घटना है जिसमें सभी राजा चुने गए हैं।
हम जानते हैं कि 52 ताश के पत्तों के समूह में केवल 4 राजा होते हैं।
अतः, यदि 7 पत्ते चुने गए, तो 4 राजा 4 में से चुने जाएंगे और शेष 3 पत्ते 48 में से चुने जाएंगे।
अतः, कुल संयोजन की संख्या होगी:
n(A) = C × C = [ \(\frac{4!}{4!0!} × \frac{48!}{3! × (48 – 3)!} \) ] = 1 × \(\frac{48!}{3! × 45!}\)
अतः, P(A) = \(\frac{n(A)}{n(S)}\)
P(A) = \(\frac{1}{7735}\)
अतः सभी 7 पत्तों का राजा होने की संभावना \(\frac{1}{7735}\) है।
(ii) 3 पत्तों का राजा होने की संभावना ज्ञात करें:
मान लें कि B एक घटना है जिसमें 3 राजा चुने गए हैं।
इस प्रकार, यदि 7 पत्ते चुने गए, तो 3 राजा 4 में से चुने जाएंगे और शेष 4 पत्ते 48 में से चुने जाएंगे।
अतः, कुल संयोजन की संख्या होगी:
n(B) = C × C = [ \(\frac{4!}{3!×(4−3)!}\) ] × [ \(\frac{48!}{4!×(48 − 4)!}\) ] = 4 × \(\frac{48}{3! × 45!}\)
अतः, P(B) = \(\frac{n(B)}{n(S)}\)
P(B) = \(\frac{9}{1547}\)
अतः 3 पत्तों का राजा होने की संभावना \(\frac{9}{1547}\) है।
प्रश्न 3: एक बर्तन में 6 गेंदे हैं जिनमें से दो लाल और चार काली हैं। यादृच्छिक रूप से दो गेंदे निकाली जाती हैं। यह ज्ञात करें कि वे भिन्न रंग की हों, इसकी संभावना क्या है?
(i) \(\frac{2}{5}\)
(ii) \(\frac{1}{15}\)
(iii) \(\frac{8}{15}\)
(iv) \(\frac{4}{15}\)
समाधान:
सही उत्तर विकल्प (c) है।
व्याख्या:
मान लें कि, कुल गेंदों की संख्या = 6 गेंदे
मान लें कि A और B क्रमशः लाल और काली गेंदें हैं,
दोनों गेंदों के अलग-अलग रंग की होने की संभावना ज्ञात करें:
P(पहली गेंद लाल है)(दूसरी गेंद काली है) + P (पहली गेंद काली है)(दूसरी गेंद लाल है)
= (\(\frac{2}{6}\)) (\(\frac{4}{5}\)) + (\(\frac{4}{6}\)) (\(\frac{2}{5}\))
= \(\frac{8}{30}\) + \(\frac{8}{30}\) = \(\frac{16}{30}\) = \(\frac{8}{15}\)
प्रश्न 4: एक दम्पति के दो बच्चे हैं,
(i) यदि यह ज्ञात है कि कम से कम एक बच्चा लड़का है, तो दोनों बच्चों के लड़के होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
(ii) यदि यह ज्ञात है कि बड़ी बच्ची लड़की है तो दोनों बच्चों के लड़की होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
समाधान:
एक दंपति के दो बच्चे हैं,
मान लें कि लड़के को b और लड़की को g द्वारा प्रदर्शित किया गया है
तो, S = {(b, b), (b, g), (g, b), (g, g)}
(i) दोनों बच्चों का लड़का होने की संभावना ज्ञात करें, यदि यह ज्ञात हो कि कम से कम एक बच्चा लड़का है
मान लें कि E: दोनों बच्चों का लड़का होना है
F: कम से कम एक बच्चा लड़का है
P(E∣F) ज्ञात करने के लिए
E: दोनों बच्चों का लड़का होना
E= {(b,b)}
P(E) = \(\frac{1}{4}\)
F: कम से कम एक बच्चा लड़का है
F={(b,g),(g,b),(b,b)}
P(F) = \(\frac{3}{4}\)
E ∩ F = {(b,b)}
P(E ∩ F) = \(\frac{1}{4}\)
P(E∣ F) = \(\frac{P(E∩F)}{P(F)}\) = \(\frac{1}{4}\) ÷ \(\frac{3}{4}\) = \(\frac{1}{3}\)
अतः आवश्यक संभावना \(\frac{1}{3}\) है।
(ii) यदि यह ज्ञात है कि बड़ी बच्ची लड़की है तो दोनों बच्चों के लड़की होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
S = {(b, b), (b, g), (g, b), (g, g)}
दोनों बच्चों का लड़की होने की संभावना ज्ञात करने के लिए, यदि यह ज्ञात हो कि बड़ा बच्चा लड़की है
मान लें कि E: दोनों बच्चे लड़की हैं
F: बड़ा बच्चा लड़की है
P(E∣F) ज्ञात करने के लिए
E: दोनों बच्चे लड़की हैं
E = {(g,g)}
P(E) = \(\frac{1}{4}\)
F: बड़ा बच्चा लड़की है
F = {(g,b),(g,g)}
P(F) = \(\frac{2}{4}\) = \(\frac{1}{2}\)
साथ ही, E ∩ F = {(g,g)}
P(E ∩ F) = \(\frac{1}{4}\)
P(E∣F) = \(\frac{P(E∩F)}{P(F)}\) = \(\frac{1}{4}\) ÷ \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{1}{2}\)
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