अवकल समीकरण
प्रश्न सं. 1: अवकल समीकरण \((y′′′)^2 + (y′′′)^3 +(y′′′)^4 + y^5 = 0\) का क्रम और घात (यदि परिभाषित हो) निर्धारित करें
समाधान:
दिया गया अंतर समीकरण है \((y′′′)^2 + (y′′′)^3 +(y′′′)^4 + y^5 = 0\)
अवकल समीकरण में उपस्थित उच्चतम क्रम व्युत्पन्न y′′′ है।
इसलिए, इसका क्रम 3 है।
दिया गया अवकल समीकरण y’′′, y′′, तथा y′ में एक बहुपद समीकरण है।
Y′′′ की उच्चतम घात 2 है।
अतः इसकी घात 2 है।
प्रश्न सं. 2: सिद्ध कीजिए कि y = a cos x + b sin x, जहाँ a, b E R अवकल समीकरण \(\frac{d^2y}{dx^2}\)+ y = 0 का एक हल है।
समाधान:
दिया गया फलन y = a cos x + b sin x … (1) है
समीकरण (1) के दोनों पक्षों को x के सापेक्ष अवकलित करने पर,
\(\frac{dy}{dx}\) = – a sinx + b cos x
\(\frac{d^2y}{dx^2}\) = – a cos x – b sinx
बायाँ पक्ष = \(\frac{d^2y}{dx^2}\) + y
= – a cos x – b sinx + a cos x + b sin x
= 0
= दायां पक्ष
अतः दिया गया फलन दिए गए अवकल समीकरण का हल है।
प्रश्न सं. 3: चतुर्थ क्रम के अवकल समीकरण के सामान्य हल में स्वेच्छ स्थिरांकों की संख्या है:
(A) 0 (B) 2 (C) 3 (D) 4
समाधान:
हम जानते हैं कि क्रम n वाले अवकल समीकरण के व्यापक हल में स्थिरांकों की संख्या उसके क्रम के बराबर होती है।
इसलिए, चतुर्थ-क्रम अवकल समीकरण के सामान्य समीकरण में स्थिरांकों की संख्या चार है।
अतः, सही उत्तर D है।
नोट: क्रम n वाले अवकल समीकरण के व्यापक हल में स्थिरांकों की संख्या शून्य के बराबर होती है।
प्रश्न सं. 4: वक्रों y = a sin (x + b) के परिवार को निरूपित करने वाला अवकल समीकरण बनाइये, जहाँ a, b स्वेच्छ स्थिरांक हैं।
समाधान:
दिया गया,
y = a sin (x + b) … (1)
समीकरण (1) के दोनों पक्षों को x के सापेक्ष अवकलित करने पर,
\(\frac{dy}{dx}\) = a cos (x + b) … (2)
x के सापेक्ष दोनों पक्षों पर पुनः अवकलन करने पर,
\(\frac{d^2 y}{dx^2}\) = – a sin (x + b) … (3)
समीकरण (1), (2) और (3) से a और b को हटाने पर,
\(\frac{d^2 y}{dx^2}\) + y = 0 … (4)
उपरोक्त समीकरण स्वेच्छ स्थिरांक a और b से मुक्त है।
यह आवश्यक अंतर समीकरण है।
प्रश्न सं. 5: मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं के परिवार का अंतर समीकरण ज्ञात कीजिए।
समाधान:
मान लीजिए y = mx मूल बिंदु से होकर जाने वाली रेखाओं का परिवार है।
\(\frac{dy}{dx}\) = m
m को हटाने पर, (m = \(\frac{y}{x}\) प्रतिस्थापित करने पर)
y = (\(\frac{dy}{dx}\)).x
or
X. \(\frac{dy}{dx}\) – y = 0
प्रश्न सं. 6: y-अक्ष पर केंद्र तथा 3 इकाई त्रिज्या वाले वृत्तों के परिवार का अवकल समीकरण बनाइए।
समाधान:
y-अक्ष पर केंद्र वाले वृत्तों के परिवार का सामान्य समीकरण \(x^2 + (y-b)^2 = r^2\) है
दिया गया है कि वृत्त की त्रिज्या 3 इकाई है।
y-अक्ष पर केन्द्र तथा 3 इकाई त्रिज्या वाले वृत्तों के परिवार का अवकल समीकरण नीचे दिया गया है:
\(x^2 + (y-b)^2 = 3^2\) \(x^2 + (y-b)^2 = 9 ……(i)\)(i) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
2x + 2(y -b).y’= 0
⇒ (y – b). y′ = -x
⇒ (y – b) = -x/y′ …….(ii)
(i) के स्थान पर (ii) प्रतिस्थापित करने पर,
\(x^2 + (-x/y’)^2 = 9\)⇒ \(x^2 [1 + 1/(y’)^2] = 9\)
⇒ \(x^2 [(y’)^2 + 1] = 9 (y’)^2\)
⇒ \((x^2 – 9)(y’)^2 + x^2 = 0\)
अतः यह आवश्यक अंतर समीकरण है।
प्रश्न सं. 7: अवकल समीकरण \(\frac{dy}{dx} = \frac{1+y^2}{1+x^2}\) का सामान्य हल ज्ञात कीजिए।
समाधान:
दिया गया अंतर समीकरण \(\frac{dy}{dx} = \frac{1+y^2}{1+x^2}\)
चूँकि 1 1 + \(y^2\)≠ 0, अतः चरों को पृथक करके, दिया गया अवकल समीकरण इस प्रकार लिखा जा सकता है:
\(\frac{dy}{1+y^2} = \frac{dx}{1+x^2}\) …….(i)
समीकरण (i) को दोनों पक्षों पर समाकलित करने पर,
∫\(\frac{dy}{1+y^2} = ∫\frac{dx}{1+x^2}\)
\(tan^{-1}y = tan^{-1} x + C\)यह दिए गए अवकल समीकरण का सामान्य हल है।
प्रश्न सं. 8: प्रत्येक दिए गए अवकल समीकरण के लिए, दिए गए शर्त को संतुष्ट करने वाला एक विशिष्ट समाधान ज्ञात कीजिए:
\(\frac{dy}{dx}\) = y tanx; y = 1 जब x = 0
समाधान:
दिया गया अवकल समीकरण है: \(\frac{dy}{dx}\) = y tanx
इस समीकरण को हल करने के लिए, हम इसे चर पृथक्करण (variable separation) के रूप में लिख सकते हैं:
\(\frac{dy}{y}\) = tan x dx
अब, दोनों पक्षों का समाकलन (integration) करें:
∫\(\frac{1}{y} dy = ∫ tan x dx\)
बाएँ हाथ की ओर:
∫\(\frac{1}{y} dy = ln ∣y∣\)
दाएँ हाथ की ओर:
∫ tan x dx = ln ∣sec x∣
अतः, हमें मिलता है:
ln ∣y∣ = ln ∣sec x∣ + C
जहाँ C समाकलन स्थिरांक (constant of integration) है।
अब, y के लिए हल करें:
∣y∣ = \(e^{ln ∣sec x∣ + C} = e^c .∣sec x∣\)
अतः, y को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
y=C’ sec x
जहाँ c’ = \(e^c\)एक नई स्थिरांक है।
अब, y = 1 जब x = 0 के लिए दिए गए शर्त को लागू करें:
1 = C’ sec0
sec 0 = 1, अतः:
C’ = 1
इस प्रकार, विशेष समाधान है:
y = sec x
अतः, दिए गए अवकल समीकरण का विशेष समाधान y = sec x है, जो शर्त y = 1 जब x = 0 को संतुष्ट करता है।
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