अवकलज के अनुप्रयोग
प्रश्न 1: एक वर्ग की भुजा 0.2 सेमी/सेकंड की दर से बढ़ रही है। वर्ग की परिमाप की वृद्धि की दर ज्ञात करें।
समाधान:
यह दिया गया है कि वर्ग की भुजा 0.2 सेमी/सेकंड की दर से बढ़ रही है।
मान लेते हैं कि दिए गए वर्ग की भुजा किसी भी क्षण में x सेमी है।
प्रश्न के अनुसार,
भुजा की वृद्धि की दर,
\(\frac{dx}{dt}\) = 0.2 सेमी/सेकंड
इसलिए किसी भी समय t पर वर्ग की परिमाप,
P = 4x सेमी
समय के साथ परिमाप के दोनों पक्षों पर अवकलज लेने पर, हमें मिलता है:
\(\frac{dp}{dt} = \frac{d(4x)}{dt} = 4⋅ \frac{dx}{dt} = 4 × 0.2 = 0.8\) सेमी/सेकंड
इसलिए, वर्ग की परिमाप 0.8 सेमी/सेकंड की दर से बढ़ रही है।
प्रश्न 2: वृत्त की त्रिज्या 0.7 सेमी/सेकंड की दर से बढ़ रही है। इसकी परिधि की वृद्धि दर क्या होगी?
उत्तर:
यह दिया गया है कि वृत्त की त्रिज्या 0.7 सेमी/सेकंड की दर से बढ़ रही है।
मान लेते हैं कि दिए गए वृत्त की त्रिज्या किसी भी क्षण में r सेमी है।
प्रश्न के अनुसार,
त्रिज्या की वृद्धि दर,
\(\frac{dr}{dt}\) = 0.7 सेमी/सेकंड
अब किसी भी समय t पर वृत्त की परिधि C = 2πr सेमी
समय के साथ परिधि के दोनों पक्षों पर अवकलज लेने पर, हमें मिलता है:
\(\frac{dc}{dt} = \frac{d(2πr)}{dt} = 2π⋅ \frac{dr}{dt} = 2π × 0.7 = 1.4π\) सेमी/सेकंड
इसलिए, वृत्त की परिधि 1.4π सेमी/सेकंड की दर से बढ़ रही है।
प्रश्न 3: यदि साबुन के बुलबुले की त्रिज्या 0.5 सेमी/सेकंड की दर से बढ़ रही है, तो जब त्रिज्या 1 सेमी हो, तब इसके आयतन की वृद्धि दर क्या होगी?
उत्तर:
यह दिया गया है कि बुलबुले की त्रिज्या 0.5 सेमी/सेकंड की दर से बढ़ रही है।
मान लेते हैं कि दिए गए बुलबुले की त्रिज्या r सेमी है और इसका आयतन V है।
प्रश्न के अनुसार,
त्रिज्या की वृद्धि दर,
\(\frac{dr}{dt}\) = 0.5 सेमी/सेकंड
बुलबुले का आयतन, अर्थात् गोले का आयतन,
V = \(\frac{4}{3}\) \(πr^3\)
समय के साथ आयतन के दोनों पक्षों पर अवकलज लेने पर, हमें मिलता है:
प्रश्न 4: एक पत्थर को एक शांत झील में फेंका जाता है और लहरें 4 सेमी/सेकंड की गति से वृत्ताकार चलती हैं। जब वृत्ताकार लहर की त्रिज्या 10 सेमी हो, तो संलग्न क्षेत्र कितनी तेजी से बढ़ रहा है?
उत्तर:
यह दिया गया है कि जब एक पत्थर को एक शांत झील में फेंका जाता है, तो लहरें बनती हैं जो 4 सेमी/सेकंड की गति से वृत्ताकार चलती हैं।
मान लें कि r वृत्त की त्रिज्या हो और A वृत्त का क्षेत्रफल हो।
जब पत्थर को झील में फेंका जाता है, तो लहरें बनती हैं जो 4 सेमी/सेकंड की गति से बढ़ती हैं।
अतः,
\(\frac{dr}{dt}\) = 4 सेमी/सेकंड
क्षेत्रफल A = \(πr^2\) होगा।
दोनों पक्षों को समय के सापेक्ष व्युत्पन्न करते हुए,
\(\frac{dA}{dt} = \frac{d(πr^2)}{dt} = π × 2r × \frac{dr}{dt}\)अतः,
\(\frac{dA}{dt} = 2πr × 4 = 8πr\) सेमी2/सेकंड
जब त्रिज्या 10 सेमी हो, तब
\(\frac{dA}{dt}\) = 2π × 10 × 4 = 80π सेमी2/सेकंड
इसलिए, संलग्न क्षेत्र 80π सेमी2 /सेकंड की दर से बढ़ रहा है।
प्रश्न 5: किसी उत्पाद के x इकाइयों की बिक्री से प्राप्त कुल राजस्व रुपये में R (x)= \(13x^2\) + 26 x + 15 के रूप में दिया गया है। जब x = 7 हो, तब परिमार्जनात्मक राजस्व ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
परिमार्जनात्मक राजस्व कुल राजस्व में इकाइयों की संख्या के सापेक्ष परिवर्तन की दर होती है।
मान लीजिए कि ‘MR’ परिमार्जनात्मक राजस्व है, इसलिए
दिया गया है कि,
कुल राजस्व, \( R(x) = 13x^2 + 26x + 15 \) … (1)
हमें परिमार्जनात्मक राजस्व x = 7 पर ज्ञात करना है।
\( MR = \frac{d}{dx} \left( 13x^2 + 26x + 15 \right) \) \( MR = \frac{d}{dx} \left( 13x^2 \right) + \frac{d}{dx} \left( 26x \right) + \frac{d}{dx} \left( 15 \right) \)MR = 13 × 2x + 26 = 26x + 26
x = 7 पर,
MR = 26(7+1) = 26 × 8 = 208
अतः, आवश्यक सीमांत राजस्व रुपये 208 है।
प्रश्न 6: फ़ंक्शन f(x) = − ∣x−1∣ + 7 का अधिकतम और न्यूनतम मान (यदि कोई हो) ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
दिया गया समीकरण है f(x) = − ∣x−1∣ + 7
मान लें ∣x−1 ∣> 0
⇒ − ∣x−1∣ < 0
अतः, f(x) का अधिकतम मान 7 होगा और न्यूनतम मान नहीं होगा।
प्रश्न 7: f(x) = \(x^2\) − 2ax + 6,x > 0 फ़ंक्शन के लिए a का मान ज्ञात कीजिए ताकि यह फ़ंक्शन सख्ती से बढ़ता हुआ हो।
उत्तर:
दिया गया फ़ंक्शन है f(x) = \(x^2\) − 2ax + 6,x > 0
यह फ़ंक्शन तब सख्ती से बढ़ेगा जब 𝑓(x)> 0
f(x)= 2x − 2a> 0
⇒ 2(x−a)>0
⇒ x−a>0
⇒ a0 है, इसलिए a का अधिकतम संभव मान 0 होगा और a के सभी अन्य मान 0 से कम होंगे।
अतः, a≤0 होगा।
प्रश्न 8: वह अंतराल (interval) लिखिए जिसके लिए f(x) = cosx,0 ≤ x ≤2π फ़ंक्शन घट रहा है।
उत्तर:
दिया गया फ़ंक्शन f(x) = cosx,0 ≤ x ≤2π
यह फ़ंक्शन तब सख्ती से घटता है जब f'(x)<0 हो।
x के सापेक्ष अवकलज (differentiate) करने पर,
f'(x) = − sinx
अब,
f'(x)<0⇒−sinx<0⇒sinx>0 यानी (0,π)
अतः, f(x) फ़ंक्शन (0,π) में घट रहा है।
प्रश्न 9: उस अंतराल को लिखिए जिसके लिए f(x) = \(\frac{log x}{x}\) ,x∈ (0,∞) फ़ंक्शन बढ़ रहा है?
उत्तर:
दिया गया है कि f(x) = \(\frac{log x}{x}\) ,x∈ (0,∞)
यह तब सख्ती से बढ़ती हुई होगी जब f'(x)>0 हो।
अब,
f(x) = \(\frac{log x}{x}\)
x के सापेक्ष अवकलन लेने पर,
f'(x) = \(\frac{1 – log x}{x^2}\)
चूंकि f'(x)>0 है,
\(\frac{1 – log x}{x^2}\) > 0
इसका मतलब है,
1 − logx > 0
log x < 1
x < e
अतः f(x) (0,e) अंतराल में बढ़ती हुई है।
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