प्रश्न 1: तीन सिक्कों को एक बार उछाला गया। कम से कम एक हेड मिलने की संभावना क्या है?
समाधान:
नमूना स्थान, S = {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}
नमूना स्थान में कुल परिणामों की संख्या, n(S) = 8
घटना
𝐴
A को कम से कम एक हेड मिलने की घटना मानी जाए, A =
{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH}
अनुकूल परिणामों की कुल संख्या, n(A) = 7
यह ज्ञात है कि,
किसी घटना A की संभावना: P(A) = \(\frac{n(A)}{n(S)}\)
अतः P(A) = \(\frac{7}{8}\)
इसलिए, कम से कम एक हेड मिलने की संभावना \(\frac{7}{8}\) है।
प्रश्न 2: एक छात्र तैराक नहीं होने की संभावना \(\frac{1}{5}\) है। 5 छात्रों में से 4 तैराक होने की संभावना क्या है?
समाधान:
यह दिया गया है कि,
एक छात्र के तैराक नहीं होने की संभावना = \(\frac{1}{5}\)
एक छात्र के तैराक होने की संभावना = 1 – \(\frac{1}{5} = \frac{4}{5}\)
5 छात्रों में से 4 तैराक होने की संभावना:
बायनोमियल वितरण से: P(X = x) = \(n^C xpn^x q^{n-x}\)
यहाँ, x = 4, n = 5, p = \(\frac{4}{5′}\) और q = \(\frac{1}{5}\)
अतः, P (X = 4) = \( 5C_4 (\frac{4}{5})^4 (\frac{1}{5})^{5 – 4}\)
इसलिए P(X = 4) = \((\frac{4}{5})^4\)
5 छात्रों में से 4 तैराक होने की संभावना \((\frac{4}{5})^4\) है।
प्रश्न 3: दो पासे एक साथ फेंके जाते हैं। पहले पासे पर सम संख्या आने या कुल 8 प्राप्त होने की क्या संभावना है?
समाधान:
नमूना स्थान, S = {(1,1),(1,2),…,(6,6)}
नमूना स्थान में कुल परिणामों की संख्या, n(S) = 36
घटना
A को पहले पासे पर सम संख्या आने की घटना मानी जाए, A =
{(2,1),(2,2),…,(2,6),(4,1),(4,2),…,(4,6),(6,1),(6,2),…,(6,6)}
अनुकूल परिणामों की कुल संख्या, n(A) = 18
घटना
𝐵
B को कुल 8 प्राप्त होने की घटना मानी जाए, B = {(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)}
अनुकूल परिणामों की कुल संख्या, n(B) = 5
घटना A∩B को पहले पासे पर सम संख्या आने और कुल 8 प्राप्त होने की घटना मानी जाए, A∩B = {(2,6),(4,4),(6,2)}
अनुकूल परिणामों की कुल संख्या, n(A∩B) = 3
यह ज्ञात है कि,
संयुक्त संभावना P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B)
इसलिए,
P(A∪B) = \(\frac{18}{36} + \frac{5}{36} − \frac{3}{36} = \frac{20}{36} = \frac{5}{9}\)
इसलिए, पहले पासे पर सम संख्या आने या कुल 8 प्राप्त होने की संभावना \( \frac{5}{9}\) है।
प्रश्न 4: 10 अंडों में से पुनःस्थापन के साथ 10 अंडों को क्रमिक रूप से निकाला गया है, जिसमें से 10% अंडे ख़राब हैं। इस बात की क्या संभावना है कि कम से कम एक अंडा ख़राब हो?
समाधान:
यह दिया गया है कि,
ख़राब अंडे की संभावना = \(\frac{1}{10}\)
अच्छे अंडे की संभावना = \(\frac{9}{10}\)
कम से कम एक अंडा ख़राब होने की संभावना:
P (कम से कम एक ख़राब) = 1 − P (कोई भी ख़राब नहीं) = 1 – \((\frac{9}{10})^{10}\)
इसलिए, कम से कम एक अंडा ख़राब होने की संभावना 1 −\((\frac{9}{10})^{10}\) है।
प्रश्न 5: एक व्यक्ति 0.4 की संभावना के साथ एक कदम आगे बढ़ाता है और 0.6 की संभावना के साथ एक कदम पीछे हटता है। 11 कदमों के अंत में वह प्रारंभिक बिंदु से एक कदम दूर होने की संभावना क्या है?
समाधान:
मान लें कि आगे बढ़ना सफलता S है और पीछे हटना विफलता F है।
अतः,
P(S) = p = 0.4
P(F) = q = 0.6
11 कदमों के अंत में वह प्रारंभिक बिंदु से एक कदम दूर होगा यदि सफलताओं और विफलताओं की संख्या में 1 का अंतर हो।
अतः, दो संभावनाएँ हैं:
सफलताओं की संख्या = 6 और विफलताओं की संख्या = 5 या सफलताओं की संख्या = 5 और विफलताओं की संख्या = 6
आवश्यक संभावना = \(11C_6 x p^6 x q^5 + 11C_5 x p^5 x q^6\)
अतः,
आवश्यक संभावना = 11!/(6!5!) × \((0.4)^6 × (0.6)^5 + 11!/(6!5!) × (0.4)^5 × (0.6)^6\)
इसलिए,
आवश्यक संभावना = \(\frac{11 × 10 × 9 × 8 × 7}{5 × 4 × 3 × 2 × 1} × (0.4)^5 × (0.6)^5 × 1 = 0.3678\)
प्रश्न 6: एक पासा दो बार फेंका जाता है और आने वाली संख्याओं का योग 6 है। इसकी सशर्त प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि संख्या 4 कम से कम एक बार आई है?
समाधान:
यदि एक पासा दो बार फेंका जाए, तो प्राप्त प्रतिदर्श समष्टि होगी:
S = {(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)
(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)
(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)
(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)
(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)
(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)}
दिए गए डेटा से, यह संभावना ज्ञात करना आवश्यक है कि 4 कम से कम एक बार प्रकट हुआ है, दिया गया है कि संख्याओं का योग 6 है
मान लीजिए कि, F: संख्याओं का योग 6 है
और E लें: 4 कम से कम एक बार प्रकट हुआ है
तो, हमें P(E|F) ज्ञात करना है
P(E) ज्ञात करना:
कम से कम एक बार 4 आने की संभावना है:
E = {(1, 4), (2, 4), (3, 4), (4, 4), (5, 4), (6, 4), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 5), (4, 6)}
इस प्रकार, P(E) = \(\frac{11}{36}\)
P(F) ज्ञात करना:
संख्याओं का योग 6 प्राप्त करने की प्रायिकता है:
F = {(1, 5), (5, 1), (2, 4), (4, 2), (3, 3)}
इस प्रकार, P(F) = \(\frac{5}{36}\)
साथ ही, E ∩ F = {(2,4), (4,2)}
P(E ∩ F) = \(\frac{2}{36}\)
इस प्रकार, P(E|F) = (P(E ∩ F) ) / (P (F) )
अब, प्राप्त प्रायिकता मान प्रतिस्थापित करें = \((\frac{2}{36})\) \((\frac{5}{36})\)
अतः अभीष्ट प्रायिकता \(\frac{2}{5}\) है।
प्रश्न 7: दिया गया है कि घटनाएँ A और B इस प्रकार हैं कि P(A) = \(\frac{1}{2}\), P (A ∪ B) = \(\frac{3}{5}\) तथा P(B) = p. यदि वे हैं तो p ज्ञात कीजिए।
(i) परस्पर अनन्य
(ii) स्वतंत्र
समाधान:
दिया गया है, P(A) = \(\frac{1}{2}\)
P (A ∪ B) = \(\frac{3}{5}\)
और P(B) = p.
(1) परस्पर अनन्य के लिए
दिया गया है कि, A और B समुच्चय परस्पर अनन्य हैं।
इस प्रकार, उनमें कोई भी सामान्य तत्व नहीं है
इसलिए, P(A ∩ B) = 0
हम जानते हैं कि P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
उपरोक्त दिए गए सूत्र में सूत्र प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है
\(\frac{3}{5}\) = \(\frac{1}{2}\) + p – 0
अभिव्यक्ति को सरल करने पर, हमें प्राप्त होता है
\(\frac{3}{5}\) – \(\frac{1}{2}\) = p
\((\frac{6 – 5}{10})\) = p
\(\frac{1}{10}\) = p
इसलिए, p = \(\frac{1}{10}\)
अतः, यदि वे परस्पर अनन्य हैं, तो p का मान \(\frac{1}{10}\) है।
(ii) स्वतंत्र आयोजनों के लिए:
यदि दो घटनाएँ A और B स्वतंत्र हैं,
हम इसे P(A ∩ B) = P(A) P(B) के रूप में लिख सकते हैं
मान प्रतिस्थापित करें,
= \(\frac{1}{2}\) × p
= \(\frac{p}{2}\)
अब, P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
अब, सूत्र में मान प्रतिस्थापित करें,
(3/5) = (1/2)+ p – (p/2)
(3/2)– (1/2)= p – (p/2)
(6 − 5)/10 = p/2
1/10 = p/2
p= 2/10
P = 1/5
इस प्रकार, यदि वे स्वतंत्र हैं तो p का मान \(\frac{1}{5}\) है।
प्रश्न 8: व्यक्ति A और B द्वारा स्वतंत्र रूप से विशिष्ट समस्या को हल करने की संभावना क्रमशः 1/2 और 1/3 है। यदि दोनों व्यक्ति स्वतंत्र रूप से समस्या को हल करने का प्रयास करते हैं, तो समस्या के हल होने की संभावना की गणना करें।
समाधान:
दिया गया है कि, दो घटनाएँ A और B स्वतंत्र हैं यदि P(A ∩ B) = P(A) । P(B)
दिए गए डेटा से हम देख सकते हैं कि P(A) = 1/2 और P(B) = 1/3
समस्या हल होने की संभावना = संभावना कि व्यक्ति A समस्या हल करता है या व्यक्ति B समस्या हल करता है
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
= P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
यदि A और B स्वतंत्र हैं, तो P(A ∩ B) = P(A). P(B)
अब, मान प्रतिस्थापित करें,
= (1/2) × (1/3)
P(A ∩ B) = 1/6
अब, समस्या हल होने की संभावना इस प्रकार लिखी जाती है
P(समस्या हल हो गई है) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
= (1/2) + (1/3) – (1/6)
= (3/6) + (2/6) – (1/6)
= 4/6
= 2/3
अतः, समस्या हल होने की संभावना 2/3 है।
प्रश्न 9: 52 पत्तों की एक अच्छी तरह से फेंटे हुए गड्डी में से 5 पत्ते क्रमशः बारी-बारी से निकाले जाते हैं, और हर बार पत्ता वापस गड्डी में रख दिया जाता है। यह ज्ञात कीजिए कि (i) सभी पांच पत्ते स्पेड (Spades) हों, (ii) केवल 3 पत्ते स्पेड हों, (iii) कोई भी पत्ता स्पेड न हो।
समाधान:
(i) सभी पांच पत्ते स्पेड हों:
कुल पत्तों की संख्या n = 52 है। स्पेड पत्तों की संख्या \(n_s\) = 13 है। चूंकि हर बार पत्ते को वापस गड्डी में रखा जा रहा है, इस कारण हर बार स्पेड पत्ता आने की संभावना एक समान होगी।
किसी एक पत्ते के स्पेड होने की संभावना P(Spade) = \(\frac{13}{52} = \frac{1}{4}\) है।
पांचों पत्तों के स्पेड होने की संभावना होगी:
P(All Spades) = \((\frac{1}{4})^5 = \frac{1}{1024}\)
(ii) केवल 3 पत्ते स्पेड हों:
यदि 3 पत्ते स्पेड हों और 2 पत्ते स्पेड न हों, तो इस स्थिति की संभावना बाइनोमियल वितरण के अनुसार होगी।
किसी एक पत्ते के स्पेड होने की संभावना p = \(\frac{1}{4}\)है, और स्पेड न होने की संभावना q = 1 − p = \(\frac{3}{4}\)है।
अब, 3 पत्ते स्पेड और 2 पत्ते स्पेड न होने की संभावना होगी:
P(Exactly 3 Spades) = \((\frac{5}{3}) x (\frac{1}{4})^3 x (\frac{3}{4})^2\)
उत्तर:
(i) सभी पांच पत्ते स्पेड होने की संभावना \(\frac{1}{1024}\)है।
(ii) केवल 3 पत्ते स्पेड होने की संभावना \(\frac{45}{512}\)है।
(iii) कोई भी पत्ता स्पेड न होने की संभावना \(\frac{243}{1024}\)है।
प्रश्न 10: एक निष्पक्ष पासे को दो बार फेंका जाता है। मान लीजिए कि घटना A “पहली बार फेंकने पर विषम संख्या” है और घटना B “दूसरी बार फेंकने पर विषम संख्या” है। घटनाओं A और B की स्वतंत्रता की तुलना करें।
समाधान:
आइए दो स्वतंत्र घटनाओं A और B पर विचार करें, तो P(A ∩ B) = P(A). P(B)
जब एक निष्पक्ष पासा दो बार फेंका जाता है
S = {(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)
(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)
(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)
(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)
(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)
(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)}
आइए हम दो घटनाओं का वर्णन इस प्रकार करें
A: पहली फेंक पर विषम संख्या
B: दूसरी बार फेंकने पर विषम संख्या
P(A) ज्ञात करने के लिए
A = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), …, (1, 6)
(3, 1), (3, 2), (3, 3), …, (3, 6)
(5, 1), (5, 2), (5, 3), …, (5, 6)}
इस प्रकार, P(A) = \(\frac{18}{36} = \frac{1}{2}\)
P(B) ज्ञात करने के लिए
B = {(1, 1), (2, 1), (3, 1), …, (6, 1)
(1, 3), (2, 3), (3, 3), …, (6, 3)
(1, 5), (2, 5), (3, 5), …, (6, 5)}
इस प्रकार, P (B) = \(\frac{18}{36} = \frac{1}{2}\)
A ∩ B = पहली और दूसरी फेंक पर विषम संख्या = {(1, 1), (1, 3), (1, 5), (3, 1), (3, 3), (3, 5), (5, 1), (5, 3), (5, 5)}
इसलिए, P(A ∩ B) = \(\frac{9}{36} = \frac{1}{4}\)
अब, P(A). P(B) = \((\frac{1}{2}) × (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4}\)
चूँकि P(A ∩ B) = P(A). P(B),
अतः, दोनों घटनाएँ A और B स्वतंत्र घटनाएँ हैं।
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