नोट्स भौतिक विज्ञान Notes Chapter 2 Bhautik Vigyan Class 11 UP Board

विमीय विश्लेषण एवं अनुप्रयोग

विमाओं के उपयोग

विमाओं के उपयोग से साधारणतः तीन रूपों में होता है।

1. एक पद्धति के मात्रकों को दूसरी पद्धति के मात्रकों में बदलना –

इसके अंतर्गत एक प्रकार के मात्रकों को किसी दूसरे प्रकार के मात्रकों में बदलते हैं।

माना किसी भौतिक राशि Y के आंकिक मान दो पद्धतियों n₁ व n₂ में हों तथा इनके मात्रक u₁ व u₂ हैं तब

Y = n₁u₁ = n₂u₂

यदि विमायें द्रव्यमान में a, लंबाई में b, समय में c हैं तो

पहली पद्धति के लिए Y = n ₁[M₁^aL₁^bT₁^c]

दूसरी पद्धति के लिए Y = n ₂[M₂^aL₂^bT₂^c]

अतः n₁[M₁^aL₁^bT₁c] = n₂[M₂^aL₂^bT₂^c]

\( n_2 = n_1 [\frac{M_1}{M_2}]^a [\frac{L_1}{L_2}]^b [\frac{T_1}{T_2}]^c \)

exam में यह theory नहीं आती है लेकिन इससे संबंधित आंकिक (numerical) प्रश्न जरूर आते हैं आइए इन्हें numerical से समझते हैं –

प्रशन- 1 जूल को अर्ग में परिवर्तित कीजिए?

हल –

चूंकि कार्य का MKS पद्धति में मात्रक जूल तथा CGS पद्धति में अर्ग होता है तथा कार्य का विमीय सूत्र [ML²T^-2]

माना MKS पद्धति के लिए M₁, L₁ व T₁ क्रमशः किग्रा, मीटर व सेकंड को तथा CGS पद्धति के लिए M₂, L₂ व T₂ क्रमशः ग्राम, सेमी व सेकंड को दर्शाता है। तब इसके आंकिक मान n₁ व n₂ होंगे। तो

n₂ = ? तथा n₁ = 1 (जूल का मान)

सूत्र n₂ = n₁ \( [\frac{M_1}{M_2}] [\frac{L_1}{L_2}]^2 [\frac{T_1}{T_2}]^2 \)

यह घातें कार्य के विमीय सूत्र से आई हैं

n₂ = 1 \([\frac {किग्रा} {ग्राम}] [\frac{मीटर} {सेमी}]^2 [\frac{सेकंड} {सेकंड}]^2 \)

n₂ = \( [\frac{1000 ग्राम}{1 ग्राम}] [\frac{100 सेमी}{1 सेमी}]^2 [1]^2 \)

n₂ = 1000 × (100 × 100) × 1

n₂ = 10⁷ अर्ग

अर्थात् 1 जूल = 10⁷ अर्ग

2. किसी भौतिक समीकरण की सत्यता की जांच करना –

इसके अंतर्गत दी गई भौतिक समीकरण के दोनों ओर की विमायें लिखते हैं अगर यह विमायें आपस में बराबर आती है तो भौतिक समीकरण संतुलित (सही) होगा। अगर विमाएं बराबर नहीं आती है तो भौतिक समीकरण असंतुलित (गलत) होगा। आइए इसे उदाहरण द्वारा समझते हैं

प्रशन- तरंग की चाल के सूत्र V = \( \sqrt{\frac{T}{m}} \) की सत्यता की जांच कीजिए?

हल- प्रशन में T तनाव (बल) तथा m एकांक लंबाई का द्रव्यमान है।

सूत्र V = \( \sqrt{\frac{T}{m}} \)

दोनों ओर की विमायें लिखने पर

[LT^-1] = \( \small \sqrt{\frac{[MLT^{-2}]}{[ML^{-1}]}} \)

[LT^-1] = \( \small \sqrt{[L^2T^{-2}]} \)

[LT^-1] = [LT^-1]

अतः स्पष्ट है कि दोनों ओर की विमायें बराबर है इसलिए यह संतुलित (सत्य) है।

3. विभिन्न प्रकार की भौतिक राशियों में संबंध स्थापित करना

इसमें हमें एक समीकरण दिया होता है और समीकरण की सभी राशियों के बारे में ज्ञात होता है कि यह किस-किस भौतिक राशि पर निर्भर करती है। तो हम विमीय संतुलन के द्वारा ही प्रस्तुत समीकरण में संबंध स्थापित कर सकते हैं। आइए इसे भी आंकिक द्वारा समझते हैं।

प्रशन- s = 1/2gt जहां s दूरी, g गुरुत्वीय त्वरण तथा t समय है विमीय विश्लेषण का विधि द्वारा सही समीकरण ज्ञात कीजिए?
हल- माना दूरी s, गुरुत्वीय त्वरण g की घात a तथा समय t की घात b पर निर्भर करती है तो
विमीय संतुलन विधि द्वारा समीकरण

s = 1/2g^at^b  समी.①

दोनों ओर की विमायें लिखने पर

[L] = [LT^-2]^a [T]^b

[L] = [L^aT^-2a] [T^b]

[L] = [L^aT^{-2a + b}]

घातों की तुलना करने पर

a = 1

– 2a + b = 0

b = 2

अब a = 1, b = 2 के मान समी.① में रखने पर

s = 1/2g¹t²

s = 1/2gt²

Note – यह जो तीनों विमीय विश्लेषण के अनुप्रयोग बताए गए हैं इन तीनों से संबंधित हर साल Numerical जरूर आता है। Theory नहीं आती है।